Les tuiles Girih sont une série de cinq tuiles qui étaient utilisées pour créer des motifs géométriques islamiques pour la décoration des bâtiments dans l’architecture islamique. Les Girih, qui signifient « nœud » en persan, sont des lignes (strapwork) décorant ces carreaux. Dans la plupart des cas, seuls les girih (et d’autres petites décorations telles que des fleurs) sont visibles plutôt que les bords des carreaux eux-mêmes. La plupart des tuiles ont un motif unique continu de girih à l’intérieur de la tuile, suivant la symétrie de la tuile. Cependant, le décagone présente deux modèles de girih possibles, dont l’un présente une symétrie de rotation quintuple plutôt que décuple.

En 2007, les physiciens Peter J. Lu et Paul J. Steinhardt ont suggéré que les tessellations de girih possédaient des propriétés compatibles avec les tessellations fractales quasi-cristallines autosimilaires, telles que les tessellations de Penrose.
Un concept qui n’a été découvert par les mathématiciens et les physiciens occidentaux que dans les années 1970 et 1980. Si c’est le cas, l’application islamique médiévale de cette géométrie serait au moins un demi-millénaire plus ancienne que la maîtrise occidentale. Les érudits pensaient que les girih étaient réalisés en dessinant un maillage de lignes en zigzag avec une règle et un compas. Mais lorsque Lu l’a regardé, il a reconnu les motifs réguliers mais non répétitifs des tuiles de Penrose. Cette découverte a été confirmée à la fois par l’analyse des motifs sur les structures survivantes et par l’examen des parchemins persans du XVe siècle préparés par les maîtres architectes pour documenter leurs techniques. Cependant, il n’y a aucune indication sur le nombre d’architectes susceptibles de connaître les mathématiques impliquées.

Il se pourrait que les modèles trouvés sur les parchemins, comme le parchemin de Topkapi, aient été consultés. Le rouleau présente une séquence de motifs géométriques en deux et trois dimensions. Il n’y a pas de texte, mais une grille et un code de couleurs utilisés pour marquer les symétries et distinguer les projections tridimensionnelles. Des dessins comme celui qui figure sur ce rouleau ont servi de livres de modèles aux artisans qui fabriquaient les tuiles, et les formes des tuiles girih dictaient la manière dont elles pouvaient être combinées pour former de grands motifs. Cette méthode permettait aux artisans de créer des modèles très complexes sans avoir recours aux mathématiques et sans nécessairement comprendre leurs principes sous-jacents.

Les carreaux géométriques à couper le souffle sont un élément distinctif de l’architecture islamique médiévale au Moyen-Orient et en Asie centrale. Les historiens de l’art ont longtemps supposé que les éléments les plus simples des motifs étaient réalisés à l’aide d’outils élémentaires tels que des règles et des compas. Mais rien n’explique comment les artistes et les architectes ont pu créer les motifs de carreaux résolument complexes qui ornent de nombreux bâtiments islamiques médiévaux.

S’il est possible de créer ces motifs individuellement avec des outils de base, il est incroyablement difficile de les reproduire à plus grande échelle sans générer d’importantes distorsions géométriques. Le carrelage islamique médiéval le plus complexe ne présente pratiquement aucune déformation.
Les directives et les compas fonctionnent bien pour les symétries récurrentes des motifs les plus simples (périodiques), mais il a probablement fallu des outils beaucoup plus puissants pour expliquer complètement les carreaux élaborés à symétrie décagonale.

‘TABL’ ou Décagone
Un décagone régulier avec dix angles intérieurs de 144°

‘PANGE’ ou Pentagone
Un pentagone régulier avec cinq angles intérieurs de 108°

‘SORMEH DAN’ ou Nœud papillon
Un nœud papillon (hexagone non convexe) avec des angles intérieurs de 72°, 72°, 216°, 72°, 72°, 216°

‘SHESH BAND’ ou Navette
Un hexagone allongé (irrégulier convexe) avec des angles intérieurs de 72°, 144°, 144°, 72°, 144°, 144°

‘TORANGE’ ou Rhombe
Losange avec des angles intérieurs de 72°, 108°, 72°, 108°

Tous les côtés de ces figures ont la même longueur ; et tous leurs angles sont des multiples de 36° (π / 5 radians ). Les tuiles girih comportent également des lignes décoratives, et chacune de ces lignes décoratives coupe le centre de chaque bord à 72 et 108 degrés. Ces lignes décoratives permettent d’obtenir un motif continu sur l’ensemble du carreau.

Tous, sauf le pentagone, ont une symétrie bilatérale (réflexion) par deux lignes perpendiculaires. Certains ont des symétries supplémentaires. En particulier, le décagonale a une symétrie de rotation décuplée (rotation supérieure à 36°) ; et le pentagone présente une symétrie de rotation quintuplée (rotation supérieure à 72°).

13-14e s. apr. J.-C. (période nazari ou dynastie nasride)
Motifs géométriques de la salle Mexuar du palais de l’Alhambra, Andalousie, Espagne
(Photo © Sir Cam)

1628 apr. J.-C. (Période Mogole)
Tombe d’I’timad-ud-Daula, Agra, Inde
(Photo © SmugMug, Inc./ Kim Carpenter)

Gauche: Motif de tuile sur le plan central (Tombeau d’I’timad-ud-Daula, photo gauche)
Droite: Reconstitution du motif avec les carreaux girih

1424 apr. J.-C. (Période pré-ottomane)
Fragment arch dans la Mosquée Verte à Bursa, Turquie

Reconstitution du motif avec les carreaux girih.

1453 apr. J.-C. (« Mouton noir » période turkmène)
Portail du sanctuaire Darb-i Imam à Ispahan, Iran

Reconstitution du motif avec les carreaux girih.

1197 apr. J.-C. (Grande période seldjoukide)
Gunbad-i Kabud à Maragha, Iran

Reconstitution du motif avec les carreaux girih.

15-16e s. apr. J.-C.
Panneau 28 du rouleau de Topkapi montrant les cinq tuiles Girih

Les cinq tuiles Girih (nom persan)
‘TABL’ ou Décagone
« PANGE » ou Pentagone
‘SORMEH DAN’ ou Nœud papillon
‘SHESH BAND’ ou Navette
‘TORANGE’ ou Rhombe

Dans les cristaux ‘ordinaires’, les atomes sont disposés régulièrement et périodiquement. Ce dernier phénomène signifie qu’ils ont une certaine structure géométrique et que cette structure se répète par une certaine symétrie. Il existe donc des cristaux présentant une symétrie double, triple, quadruple ou sextuple. Cela signifie que la position des cristaux, lorsque vous les faites tourner de 180 degrés autour de leur axe, est indiscernable de la position dans laquelle se trouvaient les cristaux avant leur rotation.

En 1984, le chercheur Dan Shechtman a créé un quasicristal en laboratoire. Les quasicristaux sont des cristaux constitués d’atomes ayant une structure apparemment régulière, mais en réalité apériodique. Cette dernière signifie que leur organisation évolue au fur et à mesure de leur croissance.

Les quasi-cristaux sont donc des motifs réguliers qui ne se répètent pas. Ils ont tout à voir avec la célèbre ‘série de Fibonacci’, dans laquelle chaque nombre est la somme des deux nombres précédents. Le rapport entre deux de ces nombres se rapproche du nombre d’or, qui apparaît fréquemment dans la nature.

Les motifs quasi-cristallins sont similaires aux mosaïques de Penrose, les ‘mosaïques apériodiques’ réalisées à partir de deux carreaux différents. Un tel schéma est régulier, mais ne se répète jamais.

Au treizième siècle, les artistes islamiques réalisaient déjà des motifs de carreaux à partir de cinq carreaux différents. On peut les voir à l’Alhambra de Grenade, en Espagne. (Voir aussi le chapitre Géométrie de l’Islam)

En 2009, un quasi-cristal a été découvert pour la première fois dans la nature, dans l’est de la Russie. Le nouveau minéral a été découvert plus précisément dans la météorite Khatyrka. Il est composé d’aluminium, de cuivre et de fer et il présente, au microscope électronique, un motif symétrique décuplé. Il n’est donc pas terrestre.

Météorite de Khatyrka