Les outils de base pour créer des dessins géométriques islamiques furent un compas et une règle. Le cercle est devenu la base du modèle islamique.  Le cercle joue un rôle important dans la calligraphie, décrite par les Arabes comme « la géométrie de la ligne » et donne une structure à tous les motifs islamiques complexes qui contiennent des formes géométriques. Ces modèles présentent trois caractéristiques de base :

1. Répétition d’éléments géométriques.
Les formes simples du cercle, du carré et de la ligne droite constituent la base des motifs. La plupart des motifs sont basés sur un ou deux types de grille – l’une est constituée de triangles équilatéraux, l’autre de carrés. Un troisième type de grille, constituée d’hexagones, est une variation du thème du triangle. 
Le terme mathématique pour ces grilles est « motif de carreaux réguliers » (dérivé du latin tesserae, c’est-à-dire des morceaux de mosaïque), dans lequel un polygone régulier est répété pour couvrir le plan.

2. Un motif d’arrière-plan et de premier plan.
Les motifs végétaux s’inscrivent sur un fond contrasté où les formes végétales sont reliées et entrelacées de manière à mettre en valeur la décoration du premier plan. Dans d’autres cas, le fond est remplacé par un contraste d’ombre et de lumière.

Il est parfois impossible de distinguer le premier plan et l’arrière-plan. Un certain nombre de motifs géométriques sont réalisés en assemblant toutes les formes polygonales comme les pièces d’un puzzle, sans espaces vides, ne nécessitant donc pas de marge spatiale entre l’avant-plan et l’arrière-plan.
Le concept d’espace dans l’art islamique est complètement différent des modèles occidentaux, qui utilisent généralement une perspective linéaire et divisent l’espace de l’image en premier plan, zone centrale et arrière-plan.
La plupart des artistes du monde islamique utilisent une sorte d’espace tridimensionnel, dans lequel les figures se chevauchent. Cet espace propose de multiples points de vue et utilise une perspective d’oiseau et de grenouille en même temps.

3. Ils n’ont pas été conçus pour s’inscrire dans un cadre.
Les décorations géométriques dans l’art islamique suggèrent une liberté remarquable. Les arrangements et combinaisons complexes d’éléments peuvent être étendus à l’infini, le cadre qui entoure le motif semble arbitraire et la composition de base est parfois une unité à partir de laquelle le reste du motif se répète.

1436 apr. J.-C. (période Bahmanide)
Tombeau du Nématollah Vali, Kerman, Iran
Le dôme carrelé bleu girih contient des étoiles avec 5, 7, 9, 12, 11, 9 et 10 points alternant à partir du haut. Les étoiles à 11 branches sont rares dans les motifs géométriques de l’art islamique.

1876 apr. J.-C. (période Qajar)
Mosquée Nasir al Molk, Shiraz, Iran

13e s. apr. J.-C. (période Beylik anatolienne)
Mosquée Eşrefoğlu, Beyşehir, Turquie
L’une des rares mosquées survivantes et les mieux conservées avec des muqarnas en bois. Les mosquées avec des colonnes en bois étaient autrefois beaucoup plus courantes, mais au fil des siècles, leur nombre a considérablement diminué.

11e s. apr. J.-C.
Mosquée de Boukhara, Ouzbékistan
(Photo © Freepik)

17e s. apr. J.-C.
Sher-Dor Madrasa (école islamique), Samarkand, Ouzbékistan
Entrée décorée de lions, de cerfs, de visages mongols et de soleils d’inspiration zoroastrienne. Cela était controversé pour les traditions islamiques de l’époque, car la représentation d’animaux vivants ou d’humains n’était pas acceptée.
(Photo © Freepik)

17e s. apr. J.-C.
Dôme intérieur de la médersa Tilya Kori, Samarkand, Ouzbékistan
(Photo © Freepik)

15e s. apr. J.-C.
Madrasa d’Ulugh Beg, Samarcande, Ouzbékistan
Statue d’Ulugh Beg, connu pour ses travaux sur les mathématiques liées à l’astronomie, comme la géométrie sphérique. Il a construit le grand observatoire d’Ulugh Beg en 1429 à Samarcande.
(Photo © Freepik)

17e s. apr. J.-C. (période Safavide)
Mosquée Masjid-i Shah (Jame Abbasi), Ispahan, Iran
(Photo © Freepik)

18e s. apr. J.-C.
Intérieur de la mosquée Vakil, Shiraz, Iran
(Photo © Freepik)

1324 apr. J.-C. (période pré-Mugol)
Écran dans le mausolée de Shah Rukn-e-Alam, Multan, Pakistan

13-14e s. apr. J.-C. (période Nazari ou dynastie Nasride)
Motif végétal géométrique sur un mur du palais de l’Alhambra, Andalousie, Espagne
(Photo © Steve Miller)

13-14e s. apr. J.-C. (période Nazari ou dynastie Nasride)
Motifs géométriques de la salle Mexuar du palais de l’Alhambra, Andalousie, Espagne
(Photo © Monsieur Cam)

1573 apr. J.-C. (période du Sultanat du Gujarat)
Jali, mosquée Sidi Saiyyed d’Ahmedabad, Gujarat, Inde
(Photo © Vrajesh jani)

1605-1627 apr. J.-C. (période Mogole)
Jali, Inde
Musée du Louvre-Lens, France
(Photo © Algoet Stefaan)

Introduction par Eric Brug à la géométrie islamique complexe.

Une autre forme d’art géométrique tridimensionnelle est le muqarnas, à l’origine une sorte de voûte en stalactite. Au début, la fonction des muqarnas fut de créer une belle transition entre les murs verticaux et le dôme dans un bâtiment carré doté d’un dôme rond. Les muqarnas sont rapidement devenus un tout indépendant, et parfois l’intérieur entier du dôme est couvert d’une voûte de stalactites. Également connues sous le nom de voûtes en nid d’abeille ou de stalactites.

Ci-dessus : 3D Muqarnas Mosquée du Shah
Ci-dessous : dessin de projection 2D de ces muqarnas, par Shiro Takahashi

15-16e s. apr. J.-C.
Conception d’une voûte de quart de muqarnas du rouleau de Topkapi

13-14e s. apr. J.-C. (période Nazari ou dynastie Nasride)
Salle des Murqanas, Palais du Lion, Alhambra, Andalousie, Espagne

19e s. apr. J.-C. (période Qajar)
Mosquée Nasir al-Mulk, Shiraz, Iran
(Photo © Freepik)

19e s. apr. J.-C. (période Qajar)
Mosquée Nasir al-Mulk, Chiraz, Iran
(Photo © Freepik)

13-14e s. apr. J.-C. (Période nazari ou dynastie nasride)
Salle des Murqanas, Palais du Lion, Alhambra, Andalousie, Espagne
(Photo © Freepik)

À l’époque islamique médiévale, les mathématiques simples étaient utilisées pour l’arpentage et à des fins administratives. Des mathématiques de niveau supérieur étaient également pratiquées, à savoir l’algèbre (équations quadratiques et cubiques), la théorie des nombres, la géométrie selon les Grecs et la trigonométrie. La géométrie et la trigonométrie étaient utilisées par les astronomes.
Selon le géomètre et astronome iranien Abu’l-Wafa al-Buzjani (940-998 apr. J.-C.), il existait deux groupes : les géomètres formés aux mathématiques qui savaient fournir des preuves théoriques mais avaient peu d’expérience du dessin pratique, et les créateurs d’ornements qui maîtrisaient le dessin pratique mais n’avaient aucune connaissance des preuves.
C’est aussi la raison pourquoi, dans la plupart des textes arabes sur la géométrie euclidienne, rien n’est dit sur les ornements géométriques. Ces textes ont été écrits par des mathématiciens formés à la théorie, et non par des créateurs d’ornements géométriques.

Les ornements géométriques sont clairement d’un contenu mathématique plus élevé que ce qui est nécessaire pour l’arpentage et l’administration. La question est maintenant de savoir si les concepteurs et les fabricants de ces ornements étaient les mêmes mathématiciens qui faisaient aussi de l’astronomie, ou s’il s’agit d’un groupe complètement différent.
Quelles mathématiques ces concepteurs médiévaux utilisaient-ils ? Les concepteurs n’ont pas été formés aux éléments d’Euclide. Ils disposaient d’un autre type de connaissances mathématiques qui, pour la plupart, n’étaient pas consignées par écrit. De telles traditions sans scribe existent également dans d’autres cultures et sont parfois appelées ‘Ethnomathématiques’. 
Ces connaissances, ainsi que les dessins des modèles qui les accompagnent, ont pu être transmis de père au fils dans les familles d’artisans, et les méthodes de construction ont peut-être été gardées secrètes de génération en génération.

Extraits de
– ‘Middeleeuwse islamitische geometrische ornamentiek’, par Jan P. Hogendijk
– ‘Islamic Art and Geometric Patterns’, par The Metropolitan Museum of Art