“La géométrie existait avant la création”

– Platon

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La découverte des polyèdres réguliers est attribuée à Pythagore de Samos (6-5e s. av. J.-C.), bien qu’il ne connaissait probablement que le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre. 

Pythagore a été le premier à s’appliquer au concept de ‘preuve mathématique’. Il a également transformé les chiffres en concepts abstraits, ‘deux maisons’ ou ‘deux personnes’ devenant simplement ‘deux’. Tout cela s’est développé à partir de la religion à laquelle Pythagore et ses disciples adhéraient, et qui reposait sur la croyance que le monde entier, au plus profond, est essentiellement mathématique. Cela signifie que tout peut être ‘exprimé sous la forme d’un nombre ou d’un rapport de nombres’, une idée qui découle de l’observation selon laquelle les cordes dont les longueurs sont reliées par des nombres entiers sonnent harmonieusement ensemble.

Quelques générations plus tard seulement, Théétète d’Athènes (5-4e s. av. J.-C.) a décrit l’octaèdre et l’icosaèdre. Cet élève de Socrate et de Platon a apporté d’importantes contributions aux mathématiques, et bien qu’aucun manuscrit de lui n’ait survécu, nous trouvons beaucoup d’informations à son sujet dans les dialogues de Platon. De plus, il est pratiquement certain que les livres X et XIII des Éléments d’Euclide décrivent exactement son travail.

Bien que Théétète ait été le premier à construire les cinq solides, ils nous sont transmis par l’œuvre de Platon et portent son nom.

Platon croyait que la réalité observable n’est que le reflet des Idées pures. Par exemple, dans le Timaios, Platon décrit la construction mathématique des polyèdres réguliers et y associe les quatre éléments et l’univers. Les particules terrestres que sont la terre, le feu, l’air et l’eau sont considérées comme des reflets des formes parfaites que sont le cube, le tétraèdre, l’octaèdre et l’icosaèdre. Le cinquième solide, le dodécaèdre, est pour Platon la forme de l’univers ‘éther’.

Euclide d’Alexandrie (4-3e s. av. J.-C.) est, comme Platon, un philosophe, mais sa vision des mathématiques est plus proche de la science telle que nous la connaissons aujourd’hui. Son œuvre la plus importante, Les Éléments, une collection de treize volumes, décrit, entre autres, la preuve des 5 polyèdres réguliers.

Dans cette lignée de grands esprits grecs, on ne peut oublier Archimède de Syracuse (3e s. av. J.-C.), parfois appelé le plus grand mathématicien de l’Antiquité. S’appuyant sur le cadre établi par Euclide, il a élaboré de nombreuses preuves géométriques et décrit les polyèdres semi-réguliers.

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Il existe des preuves attestant que l’humanité connaissait l’existence des solides Platon avant même Platon. En effet, l’Ashmolean Museum d’Oxford conserve les cinq corps platoniciens et certaines formes semi-régulières décrites par Pythagore. Ciselés dans la pierre, les solides Platon seraient antérieurs d’au moins mille ans à Platon. Ces pierres ont été trouvées en Écosse et proviennent d’un peuple néolithique.

Des centaines de sphères en pierre taillée d’environ 7 cm de diamètre, dont on pense qu’elles datent de 3000 ans av. J.-C., ont été découvertes à Scara Brae en Écosse. Certaines sont sculptées en lignes correspondant aux bords des polyèdres réguliers. La fonction de ces pierres est inconnue, mais beaucoup d’entre elles sont sculptées de manière complexe avec des spirales ou des hachures. Le matériau va du grès et de la serpentine faciles à travailler au granite et au quartzite durs et difficiles.

Les cinq solides Platon sont représentés : tétraèdre, cube, octaèdre, icosaèdre et dodécaèdre, ainsi que quelques formes composites et semi-régulières supplémentaires, telles que le cube octaèdre et l’icosidodécaèdre. 

Beaucoup d’entre eux, cependant, n’étaient pas des solides Platon ‘parfaits’, mais plutôt des approximations quasi-identiques qui montrent clairement les compétences des tailleurs de pierre.

C’est une indication claire de la capacité mathématique de l’homme néolithique. On spécule sur un rapport possible avec la construction des grands cercles de pierres astronomiques de la même époque en Grande-Bretagne. Après tout, l’étude des cieux exige une compréhension des lois sphériques des coordonnées tridimensionnelles. Platon, Ptolémée, Kepler et Al-Kindi ont tous attribué une signification cosmique à ces polyèdres.

Photos © Ashmolean Museum en Ecosse

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Tétraèdre

4 surfaces égales
4 points

Feu

Hexaèdre

6 surfaces égales
8 points

Terre

Octaèdre

8 surfaces égales
6 points

Air

Dodécaèdre

12 plans égaux
20 points

Éther

Icosaèdre

20 surfaces égales
12 points

l’Eau

La nature nous offre un grand nombre de structures symétriques. Le monde matériel est constitué de molécules qui ont une certaine structure symétrique interne. Des forces élémentaires relient les molécules individuelles en structures dites cristaux. Un monocristal présente la forme d’un polyèdre géométrique, dans lequel on retrouve les symétries des molécules constitutives. Ces formes élémentaires sont le tétraèdre, l’hexaèdre et l’octaèdre réguliers.

La symétrie, sous forme de répétition et de régularité, est la base de la beauté. Il est frappant de constater que les formes de symétrie les plus belles ou les plus riches se trouvent dans les manifestations de vie les plus simples. Nous, les humains, n’avons qu’une symétrie en miroir à l’extérieur, mais à l’intérieur, la symétrie est brisée, car nous ne possédons qu’un seul cœur. Par contre, les étoiles de mer ont une symétrie de rotation, comme de nombreuses autres créatures marines.

On remarque que les cristaux dans la nature sont tous basés sur les chiffres 3, 4 et 6. En cristallographie, on ne peut obtenir une symétrie quintuple, car elle est contraire à la répétabilité de la construction des cristaux sur des bases géométriques. Les lois de la cristallographie rendent impossible une forme de symétrie à rotation quintuple, de sorte que ni le dodécaèdre ni l’icosaèdre ne peuvent se présenter à l’état pur sous forme de cristal.

En 1984, des physiciens ont créé en laboratoire des structures quasi-cristallines présentant une symétrie quintuple. Les motifs quasi-cristallins sont similaires aux mosaïques de Penrose, appelées mosaïques apériodiques.

Il a également été constaté que les modèles de règles non périodiques du nombre 5 présentent le nombre d’or. Les diagonales d’un pentagone régulier se croisent selon le nombre d’or.

Ainsi, le monde de la matière inanimée ne se prête qu’aux trois corps platoniques simples. Un cristal de la forme d’un douze selon le plan régulier ou d’un vingt selon le plan ne sera malheureusement jamais trouvé. Mais l’impossible dans la nature sans vie est rendu faisable par les formes de vie.

Les virus sont constitués d’un noyau et d’une enveloppe sphérique de protéines. Dans un certain nombre de cas, les protéines du manteau présentent une forme de symétrie qui correspond à celle du dodécaèdre et de l’icosaèdre.

Bibliographie
– ‘Symmetrie, kunst en computers ‘, par Hans Lauwerier
– ‘Viruses and Geometry: Group, Graph and Tiling Theory Open Up Novel Avenues for Anti-Viral Therapy’, par Reidun Twarock
– https://www.geestkunde.net
– https://geometrymatters.tumblr.com
– https://www.cosmic-core.org

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Illustration des radiolaires de l’expédition Challenger 1873-1876. Comprenant au centre un Circogonia icosaèdre, un type de Radiolaires, en forme d’icosaèdre ordinaire.

Braarudosphaera bigelowii est une algue phytoplanctonique unicellulaire en forme de docaèdre du Crétacé géologique.

Dictyochophyceae – Les silicoflagellés sont un hétérokontalga unicellulaire de la période géologique du Crétacé, il y a 145 à 66 millions d’années.

Actinoptychus senarius est une algue phytoplanctonique unicellulaire, vivant actuellement dans le monde entier.

Braarudosphaera perampla, algue phytoplanctonique unicellulaire de la période géologique de Pleistoon.

Azpeitia nodulifera est une diatomée ou diatomée, une algue unicellulaire avec un exosquelette de silice. Ici avec une spirale de Fibonacci. Depuis l’âge géologique du Quaternaire il y a 2,58 millions d’années.

Azpeitia nodulifera.

Image microscopique de trois tours Sten, un type de protozoaire d’eau douce unicellulaire.
(Photo © Dr Igor Siwanowicz)

Photo microscopique de l’algue unicellulaire Triceratium morlandii.
(Photo © Larry G. Gouliard)

Penicillium vulpinum (champignon).
(Photo © Tracy Debenport)

Pyrocystis fusiformis (algue).
(Photo © Gerd Günther)

L’art des diatomées par Klaus Kemp.

Découvrez comment l’artiste Klaus Kemp crée un bel art à partir d’algues.

Sélections du film Proteus. Le film raconte Ernst Haeckel, un naturaliste du XIXe siècle, et ses gravures détaillées de Radiolaria, des organismes marins unicellulaires.

Image 3D d’un Bacillus phage Basilisk (a), du virus de l’herpès simplex 1 (b) et du bactériophage lambda (c) avec un motif icosaédrique.
(Photo © Nature Communications)

Une grande majorité des virus présentent une symétrie icosaédrique complète.

Adénovirus (Adenoviridae) sous forme d’icosaèdre. Crée des infections respiratoires.

Bactériophage constitué d’une capside icosaédrique et d’une longue queue non contractile qui permet la reconnaissance de l’hôte et la livraison du génome.

Image microscopique du motif des yeux d’une mouche domestique.
(Photo © Dr Razvan Cornel Constantin)

Œuf de papillon

Alors que les dodécaèdres communs ne se produisent pas dans les cristaux, la forme se produit dans les cristaux de la pyrite minérale.

Cristaux de neige.
(Photo © Kenneth Libbrecht)

(Photos © Alexey Kljatov)

The Bubbleologist – The Code

Découvrez comment les formes platoniques sont créées dans les bulles de savon.

Tétraèdre dans une collection de bulles de savon.
(Photo © Tom Noddy)

Octaèdre dans une collection de bulles de savon.
(Photo © Tom Noddy)

Dodécaèdre dans une collection de bulles de savon.
(Photo © Tom Noddy)

‘Muscovite’ trapiche.
Une pierre particulière est la ‘pierre à fleurs de cerisier’ du Japon, constituée d’une variante de la muscovite, la pinite.  La pierre de base est l’indialite, transformée en cordiérite de forme hexagonale (pseudomorphose).
(Photo © inconnue)

Cristal trapiche émeraude.
Pendant la formation du mélange de pierres précieuses émeraude, des inclusions d’albite, de quartz ou d’autres matières carbonées peuvent se produire. La structure cristalline hexagonale de l’émeraude crée un motif radial à six points.
(Photo © Jeffery Bergman, Primagem)

Schémas de diffraction des quasicristaux ‘quasicristal Icosohedral’.

Diffraction des rayons X de l’halite (sel gemme).

Diffraction des rayons X de l’iridium.
(Photo © Omikron)

Image sonore de l’eau, figure sonore Chladnic, hauteur 28,6 Hz.
(Photo © Alexandre Lauterwasser)

Figure sonore chladnique, hauteur 102,528 Hz.
(Photo © Alexandre Lauterwasser)

Diagramme de diffraction de Laue par rayons X du cristal de béryl.
(Photo © ‘Structures en art et en science’ Gyorgy Kepes)

Diagramme de diffraction de Laue par rayons X de quasicristaux (zinc-magnésium-holmium).

Image microscopique des liaisons chimiques entre atomes.
(Photo © IBM Research Zurich).

Ces images sont dérivées de simulations de la lumière dans les cavités des nanolasers et fournissent une variété de modèles d’ondes stationnaires.
La première image est un mode galerie de murmures. Ils tirent leur nom du phénomène de galerie de murmures qui a été observé à l’aide d’ondes sonores dans des dômes. Les modes de galerie de murmures apparaissent non seulement au niveau de la lumière et du son, mais aussi d’autres types d’ondes, comme les ondes de matière et les ondes de gravité.

Hologramme d’un photon unique : reconstruit à partir de mesures brutes (à gauche) et prédit théoriquement (à droite).
Les photons sont des impulsions d’énergie électromagnétique. Lorsque les atomes absorbent ou libèrent de l’énergie, celle-ci est transférée sous forme de photons. Un photon est une impulsion qui traverse l’éther/le champ d’énergie zéro.

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