Girih tegels zijn een reeks van vijf tegels die werden gebruikt bij het maken van Islamitische geometrische patronen voor de decoratie van gebouwen in de islamitische architectuur. Girih wat “knoop” betekent in het perzisch, zijn lijnen (strapwork) die deze tegels versieren. In de meeste gevallen zijn alleen de girih (en andere kleine versieringen zoals bloemen) zichtbaar in plaats van de grenzen van de tegels zelf. De meeste tegels hebben een uniek patroon van girih binnenin de tegel die continu zijn en de symmetrie van de tegel volgen. De tienhoek heeft echter twee mogelijke girihpatronen, waarvan er één slechts vijfvoudige in plaats van tienvoudige rotatiesymmetrie heeft.

In 2007 suggereerden de natuurkundigen Peter J. Lu en Paul J. Steinhardt dat girih-betegelingen eigenschappen bezaten die consistent waren met op zichzelf gelijkende fractal quasi-kristallijne betegelingen, zoals Penrose-betegelingen.
Een concept dat pas in de jaren zeventig en tachtig door westerse wiskundigen en natuurkundigen werd ontdekt. Als dat zo is, zou de middeleeuwse islamitische toepassing van deze geometrie minstens een half millennium ouder zijn dan de westerse meesterschap. Geleerden dachten dat de girih waren gemaakt door een zigzagnetwerk van lijnen te tekenen met een rechte rand en een kompas. Maar toen Lu ernaar keek, herkende hij de regelmatige maar niet-repetitieve patronen van Penrose-tegels Deze bevinding werd ondersteund door zowel analyse van patronen op overgebleven structuren als door onderzoek van 15e-eeuwse Perzische rollen die door meesterarchitecten zijn opgesteld om hun technieken te documenteren. Er is echter geen indicatie hoeveel architecten mogelijk hebben geweten over de betrokken wiskunde.

Sjablonen die zijn gevonden op rollen, zoals de Topkapi-rol, zijn mogelijk geraadpleegd. De rol toont een opeenvolging van twee- en driedimensionale geometrische patronen. Er is geen tekst, er is een rasterpatroon en kleurcodering die worden gebruikt om symmetrieën te markeren en driedimensionale projecties te onderscheiden. Tekeningen zoals op deze rol zouden hebben gediend als patroonboeken voor de ambachtslieden die de tegels vervaardigden, en de vormen van de girih-tegels dicteerden hoe ze konden worden gecombineerd tot grote patronen. Op deze manier konden ambachtslieden zeer complexe ontwerpen maken zonder hun toevlucht te nemen tot wiskunde en zonder noodzakelijkerwijs hun onderliggende principes te begrijpen.

Adembenemend uitgebreide geometrische tegels zijn een onderscheidend kenmerk van middeleeuwse islamitische architectuur in het Midden-Oosten en Centraal-Azië. Kunsthistorici gaan er al lang van uit dat eenvoudigere elementen van de patronen zijn gemaakt met elementaire hulpmiddelen zoals linialen en passers. Maar er is geen verklaring voor hoe kunstenaars en architecten de onmiskenbaar complexe tegelpatronen hadden kunnen creëren die veel middeleeuwse islamitische gebouwen sieren.

Hoewel het mogelijk is om deze patronen afzonderlijk te maken met basistools, zijn ze ongelooflijk moeilijk te repliceren op grotere schaal zonder uitgebreide geometrische vervormingen te genereren. De meest complexe middeleeuwse islamitische betegelingen vertonen amper vervorming.
Richtlijnen en passers werken prima voor de terugkerende symmetrieën van de eenvoudigste (periodieke) patronen, maar er waren waarschijnlijk veel krachtigere gereedschappen voor nodig om de uitgebreide betegeling met decagonale symmetrie volledig uit te leggen.

‘TABL’ of Decagon
Een regelmatige tienhoek met tien binnenhoeken van 144°

‘PANGE’ of Pentagon
Een regelmatige vijfhoek met vijf binnenhoeken van 108°

‘SORMEH DAN’ of Bow-tie
Een vlinderdas (niet-convexe zeshoek) met binnenhoeken van 72°, 72°, 216°, 72°, 72°, 216°

‘SHESH BAND’ of Bobbin
Een langwerpige (onregelmatige convexe) zeshoek met binnenhoeken van 72°, 144°, 144°, 72°, 144°, 144°

‘TORANGE’ of Rhombus
Een ruit met binnenhoeken van 72°, 108°, 72°, 108°

Alle zijden van deze figuren hebben dezelfde lengte; en al hun hoeken zijn veelvouden van 36 ° (π / 5 radialen ). In de girih-tegels zijn ook decoratielijnen verwerkt en elk van deze decoratielijnen snijdt het middelpunt van elke rand onder 72 en 108 graden. Deze decoratieve lijnen laten een doorlopend patroon toe over een hele tegel.

Ze hebben allemaal, behalve de vijfhoek, bilaterale (reflectie) symmetrie door twee loodrechte lijnen. Sommige hebben extra symmetrieën. In het bijzonder heeft de tienhoek een tienvoudige rotatiesymmetrie (rotatie over 36 °); en de vijfhoek heeft een vijfvoudige rotatiesymmetrie (rotatie over 72 °).

13-14e n.Chr. (Nazari-periode of Nasriden)
Geometrische patronen uit de Mexuar-hal van Alhambra paleis, Andalusië, Spanje
(Foto © Sir Cam)

1628 n.Chr. (Mogol-periode)
Graf van I’timad-ud-Daula, Agra, India
(Foto © SmugMug, Inc./ Kim Carpenter)

Links: Tegelpatroon op het centraal vlak (Graf van I’timad-ud-Daula)
Rechts: Reconstructie van het patroon met de girih tegels

1424 n.Chr. (Pre-Ottomaanse-periode)
Fragment boog in de Groene Moskee in Bursa, Turkije

Reconstructie van het patroon met de girih tegels.

1453 n.Chr. (‘Black sheep’-Turkmaanse-periode)
Portaal van de Darb-i Imam-schrijn in Isfahan, Iran

Reconstructie van het patroon met de girih tegels.

1197 n.Chr. (Grote Seltsjoek-periode)
Gunbad-i Kabud in Maragha, Iran

Reconstructie van het patroon met de girih tegels.

15-16e n.Chr. 
Paneel 28 van de Topkapi-rol met de vijf Girih-tegels

De vijf Girih-tegels (Perzische benaming)
‘TABL’ of Decagon
‘PANGE’ of Pentagon
‘SORMEH DAN’ of Bow-tie
‘SHESH BAND’ of Bobbin
‘TORANGE’ of Rhombus

In ‘gewone’ kristallen zijn atomen regelmatig en periodiek gerangschikt. Dat laatste betekent dat ze een bepaalde geometrische structuur hebben en die structuur herhaalt zich met een bepaalde symmetrie. Zo bestaan er kristallen met een twee-, drie-, vier- of zesvoudige symmetrie. Dat betekent dat de positie van de kristallen wanneer je ze 180 graden om hun as draait niet te onderscheiden is van de positie die de kristallen voor het draaien innamen.

In 1984 creëerde onderzoeker Dan Shechtman in een laboratorium een quasikristal. Quasikristallen zijn kristallen die bestaan uit atomen met een schijnbaar regelmatige, maar in werkelijkheid aperiodieke structuur. Dat laatste betekent dat hun organisatie verandert naarmate ze groeiden.

Quasikristallen zijn dus regelmatige patronen die zichzelf toch niet herhalen. Ze hebben alles te maken met de bekende ‘reeks van Fibonacci’, waarin ieder getal de optelsom is van de twee voorgaande getallen. De verhouding tussen twee van die getallen komt steeds dichter bij de Gulden Snede, die veel in de natuur voorkomt.

Quasikristalpatronen zijn vergelijkbaar met de Penrose-mozaïken, de zogenaamde ‘aperiodische mozaïeken’ gemaakt van twee verschillende tegels. Zo’n patroon is regelmatig, maar herhaalt zichzelf nooit.

In het oosten van Rusland werd in 2009 voor het eerst een quasikristal in de natuur gevonden. Het nieuw mineraal werd meer bepaald in de Khatyrka-meteoriet ontdekt. Het bestaat uit aluminium, koper en ijzer en geeft onder de elektronenmicroscoop een keurig tienvoudig symmetrisch patroon. Het is dus niet aards ontstaan.

Khatyrka-meteoriet