De basisinstrumenten voor het scheppen van islamitisch geometrische ontwerpen waren een passer en een liniaal. De cirkel werd de basis van het Islamitische patroon.  De cirkel speelt een belangrijke rol in de kalligrafie, die door de Arabieren wordt omschreven als ‘de geometrie van de lijn’ en geeft alle complexe Islamitische patronen die geometrische vormen bevatten structuur. Deze patronen hebben drie basiskenmerken:

1. Herhaling van geometrische elementen.
De eenvoudige vormen van de cirkel, vierkant en rechte lijn zijn de basis van de patronen. De meeste patronen zijn gebaseerd op één of twee rastertypen – het ene bestaat uit gelijkzijdige driehoeken, het andere uit vierkanten. Een derde type raster, dat bestaat uit zeshoeken, is een variant op het driehoeksthema. 
De wiskundige term voor deze rasters is ‘regelmatig tegelpatroon’ (afkomstig van het Latijnse tesserae, d.w.z. stukken mozaïek), waarin een gewone veelhoek wordt herhaald om het vlak te bedekken.

2. Een achtergrond- en voorgrondpatroon.
Plantenpatronen komen voor tegen een contrasterende achtergrond waarin de plantachtige vormen met elkaar verbonden en verweven zijn op een manier die de decoratie van de voorgrond benadrukt. In andere gevallen wordt de achtergrond vervangen door een contrast tussen licht en schaduw.

Soms is het onmogelijk om de voorgrond en  achtergrond van elkaar te onderscheiden. Een aantal geometrische ontwerpen zijn gemaakt door alle veelhoekvormen bij elkaar te brengen zoals de stukken van een legpuzzel, zonder lege ruimtes, en hebben daardoor geen ruimtelijk samenspel tussen de voorgrond en achtergrond nodig.

Het concept ruimte in de Islamitische kunst verschilt volledig van Westerse modellen, die meestal gebruik maken van een lineair perspectief en die de ruimte van het plaatje verdelen in voorgrond, middenzone en achtergrond.
De meeste kunstenaars uit de Islamitische wereld gebruikten een soort driedimensionale ruimte, waarin figuren elkaar overlapten. Deze ruimte bood meervoudige gezichtspunten en gebruikte tegelijkertijd een vogel- en kikkerperspectief.

3. Ze zijn niet ontworpen om binnen een raamwerk te passen.
Geometrische versieringen in de Islamitische kunst suggereren een opmerkelijke vrijheid. De complexe arrangementen en combinaties van elementen zijn tot in het oneindige uit te breiden, het raamwerk rondom het patroon lijkt willekeurig te zijn en het basiscompositie is soms een eenheid van waaruit de rest van het patroon zichzelf herhaald.

1436 n.Chr. (Bahmanid-periode)
Graftombe Nematollah Vali, Kerman, Iran
De blauwe girih betegelde koepel bevat sterren met vanaf de bovenkant beurtelings 5, 7, 9, 12, 11, 9 en 10 punten. 11-punts sterren zijn zeldzaam in de geometrische patronen van islamitische kunst.

1876 n.Chr. (Qajar-periode) 
Nasir al Molkmoskee, Shiraz, Iran

13e n.Chr. (Anatolische beylik-periode)
Eşrefoğlu-moskee, Beyşehir, Turkije
Eén van de weinige overgebleven en best bewaarde moskeeën met houten muqarnas. Moskeeën met houten zuilen waren ooit veel gebruikelijker, maar door de eeuwen heen is hun aantal sterk verminderd.

1324 n.Chr. (pre-Mogolperiode)
Scherm in het mausoleum van Shah Rukn-e-Alam, Multan, Pakistan 

13-14e n.Chr. (Nazari-periode of Nasriden)
Geometrisch plantenpatroon op een muur van Alhambra paleis, Andalusië, Spanje
(Foto © Steve Miller)

13-14e n.Chr. (Nazari-periode of Nasriden)
Geometrische patronen uit de Mexuar-hal van Alhambra paleis, Andalusië, Spanje
(Foto © Sir Cam)

1573 n.Chr. (Sultanaat Gujarat periode)
Jali, Sidi Saiyyed-moskee van Ahmedabad, Gujarat, India
(Foto © Vrajesh jani)

360° beeld van Nasi Al-Mulk Moskee

1605-1627 n.Chr. (Mogol periode)
Jali, India
Museum Louvre-Lens, Frankrijk
(Foto © Algoet Stefaan)

Inleiding door Eric Broug in de complexe Islamitsche geometrie.

Een andere driedimensionale geometrische kunstvorm is de muqarnas, oorspronkelijk een soort stalactietengewelf. In het begin was de functie van muqarnas om in een vierkant gebouw met een ronde koepel een mooie overgang van de verticale muren naar de koepel te maken. De muqarnas ging al gauw een eigen leven leiden, en soms is de hele binnenkant van de koepel met een stalactieten-gewelf overdekt. Ook bekend als honingraat- of stalactietgewelven.

Boven: 3D muqarnas Moskee van de Sjah
Onderaan: 2D projectietekening van deze muqarnas, door Shiro Takahashi

15-16e n.Chr., Iran 
Ontwerp van een muqarnas kwartiergewelf uit de Topkapi-rol

13-14e n.Chr. (Nazari-periode of Nasriden)
Zaal van de murqanas, leeuwenpaleis, Alhambra, Andalusië, Spanje

In de middeleeuwse islamitische tijd werd eenvoudige wiskunde gebruikt in de landmeetkunde en voor administratieve doeleinden. Er werd tevens ook aan wiskunde van hoger niveau gedaan, namelijk algebra (kwadratische en kubische vergelijkingen), getallenleer, meetkunde volgens de Grieken, en trigonometrie. De meetkunde en trigonometrie werd gebruikt door sterrenkundigen.

Volgens de Iraanse meetkundige en sterrenkundige Abu’l-Wafa al-Buzjani (940-998 n.Chr.) bestonden er twee groepen: de wiskundig geschoolde meetkundigen die wel theoretische bewijzen konden geven maar weinig ervaring hadden in praktisch tekenen, en de makers van ornamenten die praktisch konden tekenen maar geen kennis hadden van bewijzen.
Dit is ook waarom er in de meeste Arabische teksten over Euclidische meetkunde niets over geometrische ornamenten wordt gezegd. Deze teksten zijn namelijk geschreven door theoretisch geschoolde wiskundigen, en niet door de makers van geometrische ornamenten.

De geometrische ornamenten zijn duidelijk van een hoger wiskundig gehalte dan wat nodig is voor landmeten en administratie. De vraag nu is of de ontwerpers en makers van zulke ornamenten dezelfde wiskundigen waren die ook aan sterrenkunde deden, of dat het om een heel andere groep gaat.

Welke wiskunde gebruikten deze middeleeuwse ontwerpers? De ontwerpers waren niet geschoold in de Elementen van Euclides. Zij hadden een ander soort wiskundekennis die grotendeels niet op schrift is vastgelegd. Zulke schriftloze tradities bestaan ook in andere culturen en worden soms ‘Ethnomathematics’ genoemd. 

Deze kennis, en de bijbehorende tekeningen van patronen, kunnen van vader op zoon zijn doorgegeven in families van handwerkers, en misschien werden de constructiemethoden geheim gehouden doorheen generaties.

Fragmenten uit
– ‘Middeleeuwse islamitische geometrische ornamentiek’, door Jan P. Hogendijk
– ‘Islamitische Kunst en Geometrische Patronen’, door The Metropolitan Museum of Art