
“Geometrie bestond vóór de creatie”
– Plato
Tekst
De ontdekking van de regelmatige veelvlakken wordt toegeschreven aan Pythagoras van Samos (6e-5e v.Chr.), al kende hij waarschijnlijk echter enkel de tetraëder, kubus en dodecaëder.
Pythagoras legde zich als eerste toe op het concept ‘wiskundig bewijs’. Verder maakte hij van de getallen abstracte concepten, ‘twee huizen’ of ‘twee mensen’ werd eenvoudig ‘twee’. Dit alles ontwikkelde zich vanuit de religie die Pythagoras en zijn volgelingen aanhingen en die berustte op het geloof dat alles in de wereld, op het diepste niveau, in wezen wiskundig van aard is. Hiermee wordt bedoeld dat alles is ‘uit te drukken als getal of als verhouding van getallen’, een idee dat voortkomt uit de observatie dat snaren waarvan de lengten zich als gehele getallen verhouden, harmonisch samenklinken.

Pas enige generaties later beschrijft Theaetetus van Athene (5e-4e v.Chr.) de octaëder en icosaëder. Deze leerling van Socrates en Plato leverde belangrijke bijdragen aan de wiskunde en hoewel er geen manuscripten van zijn hand bewaard zijn, vinden we veel over hem terug in Plato’s dialogen. Bovendien staat het zo goed als vast dat boeken X en XIII van de Elementen van Euclides precies zijn werk beschrijven.
Hoewel Theaetetus de eerste is die de vijf lichamen heeft geconstrueerd, worden ze ons overgeleverd via Plato’s werk en worden ze naar hem genoemd.
Plato gelooft dat de waarneembare werkelijkheid slechts een afspiegeling is van zuivere Ideeën. Zo beschreef Plato in de Timaios de mathematische constructie van de regelmatige veelvlakken en associeert hiermee de vier elementen en het universum. De wereldse deeltjes aarde, vuur, lucht en water zouden afspiegelingen zijn van de perfecte vormen, de kubus, tetraëder, octaëder en icosaëder. Het vijfde lichaam, de dodecaëder, is voor Plato de vorm van het universum ‘ether’.
Euclides van Alexandrië (4e – 3e v.Chr.) is, net als Plato, een filosoof, maar zijn visie op wiskunde leunt dichter aan bij de wetenschap zoals wij die vandaag de dag kennen. Zijn belangrijkste werk, De Elementen, een collectie van dertien boekdelen beschrijft o.a. het bewijs van de 5 regelmatige veelvlakken.
In deze rij van grote Griekse geesten kan Archimedes van Syracuse (3e v.C.), soms de grootste wiskundige van de oudheid genoemd, niet worden vergeten. Voortbouwend op het raamwerk dat Euclides heeft uitgetekend, werkte hij talrijke meetkundige bewijzen uit en heeft hij de halfregelmatige veelvlakken beschreven.
Tekst
Er is een bewijs dat de mensheid van het bestaan van de Platonische lichamen op de hoogte was, nog voor Plato. In het Ashmolean Museum in Oxford bewaart men namelijk alle vijf de Platonische lichamen en sommige semireguliere vormen die beschreven zijn door Pythagoras. Gebeiteld uit steen, worden deze Platonische lichamen op een leeftijd van tenminste duizend jaar voor Plato geschat. Deze stenen zijn in Schotland gevonden en zijn afkomstig van een Neolithische volk.
Honderden gebeeldhouwde stenen bollen met een diameter van ongeveer 7cm, vermoedelijk rond 3000 voor Christus, zijn gevonden in Scara Brae te Schotland. Sommige zijn gesneden met lijnen die overeenkomen met de randen van regelmatige veelvlakken. De functie van deze stenen is onbekend, velen zijn ingewikkeld gesneden met spiralen of kruisarcering. Het materiaal varieert van gemakkelijk te bewerken zandsteen en serpentijn tot moeilijk, hard graniet en kwartsiet.
Alle vijf platonische lichamen zijn vertegenwoordigd: tetraëder, kubus, octaëder, icosaëder en dodecaëder. Evenals enkele extra samengestelde en semi-reguliere vormen, zoals de kubus-octaëder en de icosidodecaëder.
Velen van hen waren echter geen ‘perfecte’ Platonische lichamen, eerder zeer nauwe benaderingen die duidelijk de vaardigheden van de steenhouwers laten zien.
Het is een duidelijk indicatie van een wiskundig vermogen van de Neolithische mens. Er wordt gespeculeerd over een mogelijke relatie met de bouw van de grote astronomische steencirkels uit hetzelfde tijdperk in Groot-Brittanië. De studie van de hemel vereist tenslotte inzicht in sferische wetten van driedimensionale coördinaten. Zowel Plato als Ptolemaeus, Kepler en Al-Kindi schreven een kosmische betekenis toe aan deze veelvlakken.
Foto’s © Ashmolean Museum in Schotland
Tekst

Tetraëder
4 gelijke vlakken
4 punten
Vuur

Hexaëder
6 gelijke vlakken
8 punten
Aarde

Octaëder
8 gelijke vlakken
6 punten
Lucht

Dodecaëder
12 gelijke vlakken
20 punten
Ether

Icosaëder
20 gelijke vlakken
12 punten
Water

De natuur voorziet ons van een groot aantal symmetrische structuren. De stoffelijke wereld is opgebouwd uit moleculen die intern een bepaalde symmetrische structuur bezitten. Elementaire krachten rijgen de afzonderlijke moleculen aaneen tot bouwwerken die we kristallen noemen. Een enkel kristal heeft de vorm van een meetkundig veelvlak, waarin de symmetrieën van de samenstellende moleculen terug te vinden zijn. Deze elementaire vormen zijn de regelmatige tetraëder, hexaëder en octaëder.
Symmetrie in de vorm van herhaling en regelmaat ligt aan de basis van schoonheid. Wat opvalt is dat de mooiste of rijkste symmetrievormen worden aangetroffen bij de eenvoudigste levensvormen. Wij mensen hebben uiterlijk alleen een spiegelsymmetrie, maar inwendig is de symmetrie gebroken, omdat we slechts een enkel, links geplaatst, hart bezitten. Bij zeesterren treffen we daarentegen een rotatiesymmetrie aan, evenals bij vele andere zeebewoners.
Het valt op dat de kristallen in de natuur allen zijn gebaseerd op de getallen 3, 4 en 6. In de kristallografie kan men geen vijftallige symmetrie krijgen, omdat die op meetkundige gronden strijdig is met de herhaalbaarheid van de kristalbouw. De wetten van de kristallografie maken een symmetrievorm met een vijftallige draaiing onmogelijk, zodat noch dodekaëder, noch ikosaëder in zuivere vorm als kristal aanwezig kunnen zijn.
Fysici hebben in 1984 in een laboratorium quasi-kristallijne structuren gecreëerd die een vijftallige symmetrie vertonen. Quasikristalpatronen zijn vergelijkbaar met de Penrose-mozaïken, de zogenaamde ‘aperiodische mozaïeken’.
Men heeft tevens vastgesteld dat bij niet-periodieke regelpatronen van het getal 5 de gulden-snedeverhouding aanwezig is. De diagonalen van een regelmatige vijfhoek snijden elkaar volgens de gulden-snedeverhouding.
In de wereld van de levenloze stof is dus alleen plaats voor de drie eenvoudige platonische lichamen. Een kristal dat de vorm heeft van een regelmatig twaalfvlak of een twintigvlak zal men helaas nooit kunnen aantreffen. Maar wat niet lukt in de levenloze natuur, kunnen levensvormen wel klaarspelen.
Virussen bestaan uit een kern en een bolvormige bedekking van eiwitten. In een aantal gevallen vertonen de manteleiwitten een symmetrievorm die met die van dodekaëder en ikosaëder overeenkomen.
Literatuur
– ‘Symmetrie, kunst en computers ‘, door Hans Lauwerier
– ‘Viruses and Geometry: Group, Graph and Tiling Theory Open Up Novel Avenues for Anti-Viral Therapy’, door Reidun Twarock
– https://www.geestkunde.net
– https://geometrymatters.tumblr.com
– https://www.cosmic-core.org
Tekst

Radiolaria-illustratie van de Challenger-expeditie 1873–1876. Waaronder centraal een Circogonia icosahedra, een soort Radiolaria, in de vorm van een gewone icosaëder

Braarudosphaera bigelowii is een eencellige fytoplanktonalg in de vorm van een docaëder uit het geologisch Krijt-tijdperk.
Ontdek hoe kunstenaar Klaus Kemp prachtige kunst maakt van algen.
Selecties uit de film Proteus. De film vertelt over Ernst Haeckel, een negentiende-eeuwse natuuronderzoeker en zijn gedetailleerde gravures van Radiolaria, eencellige mariene organismen.
The Bubbleologist – The Code

Deze afbeeldingen zijn afkomstig van simulaties van licht in de holtes van nanolasers en zorgt voor een verscheidenheid aan staande golfpatronen.
De eerste afbeelding is een fluistergalerij-modi. Ze ontlenen hun naam aan het fluistergalerij-fenomeen dat werd opgemerkt met geluidsgolven in koepelkoepels. Fluisterende galeriemodi verschijnen niet alleen voor licht en geluid, maar ook voor andere soorten golven, zoals materiegolven en zwaartekrachtgolven.

Hologram van een enkel foton: gereconstrueerd uit ruwe metingen (links) en theoretisch voorspeld (rechts).
Fotonen zijn pulsen van elektromagnetische energie. Wanneer atomen energie absorberen of afgeven, wordt de energie overgedragen in de vorm van fotonen. Een foton is een impuls die door het ether / nulpuntsenergieveld reist.
© Gelieve de auteurs vermelding en copyright te respecteren.